مشتق ln(x+1) چیست؟

مشتق ln (x+۱) برابر با $$\frac{۱}{x+۱}$$ است. ln، به منظور نمایش یک لگاریتم خاص مورد استفاده قرار می‌گیرد. این لگاریتم با عنوان لگاریتم طبیعی شناخته می‌شود. اگر مبنای لگاریتم را برابر با ثابت عددی e یا همان عدد اویلر (۲/۷۱۸۲۸)، قرار دهیم، لگاریتم طبیعی $$\left({\log }_{۲/۷۱۸۲۸}\right(x)=\ln (x\left)\right)$$ به وجود می‌آید. مشتق‌گیری از لگاریتم‌های طبیعی، قواعد مخصوص به خود را دارد. در این مقاله، روش‌های گرفتن مشتق ln (x+۱) را به همراه حل چندین مثال و تمرین متنوع آموزش می‌دهیم. در انتها نیز به اثبات فرمول مشتق ln(x+۱) می‌پردازیم.

مشتق log چیست ؟

به منظور آشنایی با نحوه محاسبه مشتق ln(x+۱)، ابتدا باید با حالت‌های مختلف مشتق‌گیری از توابع لگاریتمی، مخصوص لگاریتم طبیعی آشنا شوید. به این منظور، تابع لگاریتمی زیر را در نظر بگیرید:

$${\log }_a\left[f\right(x\left)\right]$$

مشتق تابع لگاریتمی بالا، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\frac{d}{dx}{\log }_a\left[f\right(x\left)\right]=\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)\ln \left(a\right)}$$

به عنوان مثال، اگر $$f\left(x\right)=x$$

باشد، مشتق تابع $${\log }_a\left(x\right)$$

برابر می‌شود با:

$$\frac{d}{dx}{\log }_a\left(x\right)=\frac{۱}{x\ln \left(a\right)}$$

مشتق ln

برای تعیین مشتق لگاریتم طبیعی (ln)، حالت‌های مختلفی به وجود می‌آید. برای شروع، تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$

تابع بالا، ln(x) را نمایش می‌‌دهد. در این حالت، مشتق $$f\left(x\right)$$

برابر است با:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)$$

$$=\frac{d}{dx}{\log }_e\left(x\right)$$

$$=\frac{۱}{x\ln \left(e\right)}$$

$$=\frac{۱}{x{\log }_e\left(e\right)}$$

$$=\frac{۱}{x}$$

اگر x دارای یک ضریب ثابت عددی مانند c بود، نتیجه مشتق ln(cx) با مشتق بالا تفاوتی نمی‌کرد. به عبارت دیگر:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\ln \left(cx\right)=\frac{۱}{x}$$

تمرین ۱: تعیین مشتق ln cx

اگر c یک عدد ثابت باشد، اثبات کنید مشتق $$\ln \left(cx\right)$$

با مشتق $$\ln \left(x\right)$$

برابر است.

برای اثبات مشتق $$\ln \left(cx\right)$$

از ویژگی ضرب در لگاریتم استفاده می‌کنیم. بر اساس این ویژگی، لگاریتم حاصل‌ضرب دو متغیر، با جمع لگاریتم‌های هر یک از آن متغیرها برابر است. به عبارت دیگر:

$$\ln \left(cx\right)=\ln \left(c\right)+\ln \left(x\right)$$

مشتق جمع دو عبارت، برابر با جمع مشتق هر یک از آن عبارت‌ها است:

$$\frac{d}{dx}\ln \left(cx\right)=\frac{d}{dx}\ln \left(c\right)+\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)$$

حاصل عبارت $$\ln \left(c\right)$$

، یک عدد ثابت است. بنابراین، مشتق آن ($$\frac{d}{dx}\ln \left(c\right)$$

) برابر با صفر می‌شود:

$$\frac{d}{dx}\ln \left(cx\right)=۰+\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)$$

$$\frac{d}{dx}\ln \left(cx\right)=\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)$$

در نتیجه، مشتق $$\ln \left(cx\right)$$

با مشتق $$\ln \left(x\right)$$

برابری می‌کند.

مشتق ln (x+۱)

به منظور تعیین مشتق ln (x+۱)، به سراغ حالت کلی مشتق‌گیری از لگاریتم طبیعی می‌رویم. فرم کلی تابع لگاریتم طبیعی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$f\left(x\right)=\ln \left[g\right(x\left)\right]$$

عبارت داخل لگاریتم ($$g\left(x\right)$$

)، تابعی از x است. در این حالت، مشتق ln از رابطه کلی زیر به دست می‌‌آید:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{g^{\prime }\left(x\right)}{g\left(x\right)}$$

تا زمانی که $$g\left(x\right)$$

برابر با صفر نبوده و امکان مشتق‌گیری از آن وجود داشته باشد، $$f^{\prime }\left(x\right)$$ دارای جواب موجه خواهد بود. اکنون، لگاریتم طبیعی ln (x+۱) را در نظر بگیرید. عبارت داخل این لگاریتم ($$x+۱$$)، تابعی از متغیر x است. این عبارت را برابر با $$g\left(x\right)$$

قرار می‌دهیم:

$$f\left(x\right)=\ln (x+۱)$$

$$g\left(x\right)=x+۱$$

مطابق با رابطه کلی مشتق ln داریم:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{g^{\prime }\left(x\right)}{g\left(x\right)}$$

به این ترتیب، برای به دست آوردن مشتق ln(x+۱)، باید مشتق $$g\left(x\right)$$

را به دست بیاوریم:

$$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}g\left(x\right)$$

$$=\frac{d}{dx}(x+۱)$$

$$=\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}۱$$

$$=۱+۰$$

$$g^{\prime }\left(x\right)=۱$$

اکنون، $$g\left(x\right)=x+۱$$

و $$g^{\prime }\left(x\right)=۱$$

را درون رابطه مشتق ln (x+۱) قرار می‌دهیم:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{۱}{x+۱}$$

نکته: یکی از اشتباهات رایج بین دانش‌آموزان در هنگام مواجه با ln (x+۱) این است که تصور می‌کنند می‌توانند آن را تجزیه کرده و به شکل حاصل‌جمع دو عبارت لگاریتمی ($$\ln \left(x\right)+\ln \left(۱\right)$$

) دربیاورند. به خطر داشته باشید که این ویژگی در اینجا کاربرد ندارد و برای لگاریتم ضرب دو عبارت قابل اجرا است.

مثال ۱: محاسبه مشتق ln (x+c)

اگر c، یک ثابت عددی باشد، نسبت مشتق ln (x+c) به مشتق ln(x+۱) را به دست بیاورید.

تابع ln (x+c) شباهت زیادی به تابع ln (x+۱) دارد. البته در این جا، به جای عدد ۱، از ثابت عددی c استفاده شده است. برای به دست مشتق ln (x+c)، از فرمول کلی مشتق ln استفاده می‌کنیم:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{g^{\prime }\left(x\right)}{g\left(x\right)}$$

در فرمول بالا، داریم:

$$g\left(x\right)=x+c$$

به دلیل ثابت بودن c، خواهیم داشت:

$$g^{\prime }\left(x\right)=۱$$

$$g\left(x\right)$$

و $$g^{\prime }\left(x\right)$$

را در رابطه مشتق قرار می‌دهیم:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{۱}{x+c}$$

می‌دانیم که مشتق ln (x+۱) برابر است با:

$$F^{\prime }\left(x\right)=\frac{۱}{x+۱}$$

در نتیجه، نسبت مشتق ln (x+c) به مشتق ln(x+۱) برابر خواهد بود با:

$$\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{F^{\prime }\left(x\right)}=\frac{\frac{۱}{x+c}}{\frac{۱}{x+۱}}=\frac{x+۱}{x+c}$$

مثال ۲: محاسبه مشتق ln (۲x+۵)

مشتق تابع مشتق ln (۲x+۵) را تعیین کنید.

برای تعیین مشتق ln (۲x+۵)، از فرمول کلی مشتق ln استفاده می‌کنیم:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{g^{\prime }\left(x\right)}{g\left(x\right)}$$

برای این مثال، داریم:

$$g\left(x\right)=۲x+۵$$

مشتق این عبارت برابر است با:

$$g^{\prime }\left(x\right)=۲$$

با جایگذاری $$g\left(x\right)$$

و $$g^{\prime }\left(x\right)$$

در رابطه مشتق، به جواب زیر می‌رسیم:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{۲}{۲x+۵}$$

مثال ۳: محاسبه مشتق ln (x^۲+x)

مشتق ln (x^۲+x) را با کمک مشتق ln (x+۱) به دست بیاورید.

برای محاسبه مشتق ln (x۲+x)، دو روش وجود دارد. روش اول، استفاده از فرمول کلی مشتق ln است. روش دوم، بازنویسی عبارت $$\ln (x^{۲}+x)$$

به صورت $$x(x+۱)$$

و استفاده از خصوصیات لگاریتم است. بر اساس صورت سوال، روش دوم را در پیش می‌گیریم. به این ترتیب، داریم:

$$f\left(x\right)=\ln (x^{۲}+x)=\ln \left[x\right(x+۱\left)\right]$$

با استفاده از قانون ضرب در لگاریتم، می‌توانیم عبارت بالا را به صورت زیر باز کنیم:

$$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+\ln (x+۱)$$

مشتق تابع بالا برابر است با:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)+\frac{d}{dx}\ln (x+۱)$$

می‌دانیم که:

$$\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)=\frac{۱}{x}$$

و

$$\frac{d}{dx}\ln (x+۱)=\frac{۱}{x+۱}$$

در نتیجه:

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{۱}{x}+\frac{۱}{x+۱}$$

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{x+۱+x}{x(x+۱)}$$

$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{۲x+۱}{x^{۲}+x}$$

اثبات مشتق ln(x+۱)

اثبات مشتق ln (x+۱) با استفاده از قواعد مشتق زنجیره‌ای انجام می‌گیرد.

فرم کلی تابع ln (x+۱)، به صورت $$\ln \left[f\right(x\left)\right]$$

است. برای اثبات مشتق $$\ln \left[f\right(x\left)\right]$$، از قاعده مشتق زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم. بر اساس این قاعده، تابع بیرونی را برابر با $$g\left(x\right)$$

در نظر می‌گیریم:

$$g\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$

تابع درونی را نیز برابر با $$h\left(x\right)$$

قرار می‌دهیم:

$$h\left(x\right)=f\left(x\right)$$

به این ترتیب داریم:

$$\ln \left[f\right(x\left)\right]=g\left[h\right(x\left)\right]$$

بر اساس قواعد مشتق زنجیره‌ای، خواهیم داشت:

$$\frac{d}{dx}g\left[h\right(x\left)\right]=g^{\prime }\left[h\right(x\left)\right].h^{\prime }\left(x\right)$$

اکنون، بر اساس دانسته‌های قبلی، عبارت‌های سمت راست را به دست می‌آوریم:

$$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)=\frac{۱}{x}$$

$$\downarrow$$

$$g^{\prime }\left[h\right(x\left)\right]=\frac{۱}{h\left(x\right)}=\frac{۱}{f\left(x\right)}$$

و

$$h^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)$$

در نتیجه:

$$\frac{d}{dx}g\left[h\right(x\left)\right]=\frac{۱}{f\left(x\right)}{f}^{\prime }\left(x\right)$$

$$\frac{d}{dx}\ln \left[f\right(x\left)\right]=\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}$$

به این ترتیب، اگر $$f\left(x\right)=x+۱$$

در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

$$\frac{d}{dx}\ln (x+۱)=\frac{\frac{d}{dx}(x+۱)}{(x+۱)}$$

$$\frac{d}{dx}\ln (x+۱)=\frac{۱}{(x+۱)}$$

مشتق معکوس ln (x+۱)

تابع معکوس ln (x+۱) از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$f\left(x\right)=\ln (x+۱)$$

به جای $$f\left(x\right)$$

، متغیری مانند y را در نظر می‌گیریم:

$$y=\ln (x+۱)$$

برای به دست آوردن معکوس تابع، جای x و y را عوض می‌کنیم:

$$x=\ln (y+۱)$$

سپس، تابع را بر حسب y بازنویسی می‌کنیم. به این منظور، عبارت‌های دو طرف رابطه را به عنوان توان e در نظر می‌گیریم:

$$e^x=e^{\ln (y+۱)}$$

به این ترتیب داریم:

$$e^x=y+۱$$

$$y=e^x-۱$$

در نتیجه، معکوس تابع $$f\left(x\right)$$

به دست می‌آید:

$$f(x{)}^{-۱}=e^x-۱$$

تابع بالا، یک تابع نمایی است. مشتق e، به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$$

به این ترتیب، مشتق معکوس ln (x+۱) برابر است با:

$$\frac{d}{dx}(e^x-۱)=\frac{d}{dx}{e}^x-\frac{d}{dx}۱$$

$$\frac{d}{dx}(e^x-۱)=e^x-۰$$

$$\frac{d}{dx}(e^x-۱)=e^x$$

در نتیجه، مشتق معکوس ln (x+۱) برابر با e^x است.

سوالات متداول در رابطه با مشتق ln (x+۱)

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه مشتق ln(x+۱) به صورت خلاصه پاسخ می‌دهیم.

ln (x+۱) چه نوع تابعی است ؟

ln (x+۱)، یک تابع لگاریتمی (لگاریتم طبیعی) است.

فرم کلی تابع ln (x+۱) چگونه است ؟

فرم کلی تابع ln (x+۱)، به صورت f(x)=ln[g(x)] است.

فرمول مشتق ln (x+۱) چیست ؟

فرمول مشتق تابع f(x)=ln (x+۱) مطابق با فرم کلی آن و به صورت f(x)=g'(x)/g(x) نوشته می‌شود.

مشتق ln(x+۱) چیست ؟

مشتق ln (x+۱) برابر با کسر (x+۱)/۱ است.

معکوس ln (x+۱) چیست ؟

معکوس ln (x+۱) برابر با e^x-۱ است.

مشتق معکوس ln (x+۱) چیست ؟

مشتق معکوس ln (x+۱) برابر با e^x است.