زیر فضا ، اسپن و پایه در فضای برداری (R3)

با تولید همه ترکیب‌های خطی مجموعه‌ای از بردارها می‌توان زیرمجموعه‌های $$R^n$$ را به دست آورد که «زیر فضا» (Subspace) نامیده می‌شوند. ممکن است این پرسش پیش بیاید که چه مجموعه‌ای در $$R^{\mathrm{۳}}$$ صفحه $$XY$$ را ایجاد می‌کند؟ کوچک‌ترین مجموعه بردارهایی که برای این کار می‌توان یافت، چیست؟ «اسپن» (Spanning)، «استقلال خطی» (Linear Independence) و «پایه» (Basis) دقیقاً همان چیزهایی هستند که برای پاسخ به این پرسش‌ها و پرسش‌های مشابه به آن‌ها نیاز داریم.

مجموعه اسپن کننده بردارها

این بخش را با یک تعریف آغاز می‌کنیم.

تعریف ۱ (اسپن یک مجموعه از بردارها): مجموعه همه ترکیب‌های بردارهای $$\{{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۱}},\cdots ,{\overrightarrow{u}}_k\}$$

در $$R^n$$ به عنوان اسپن این بردارها شناخته شده و به صورت $$span\{{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۱}},\cdots ,{\overrightarrow{u}}_k\}$$

نوشته می‌شود.

مثال زیر را در نظر بگیرید.

مثال ۱ (اسپن بردارها): اسپن بردارهای $$\overrightarrow{u}={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۱}& \mathrm{۱}& \mathrm{۰}\end{array}\right]}^T$$

و $$\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۳}& \mathrm{۲}& \mathrm{۰}\end{array}\right]$$ در $$R^{\mathrm{۳}}$$

را توصیف کنید.

حل: می‌بینیم که هر ترکیب خطی از بردارهای $$\overrightarrow{u}$$

و $$\overrightarrow{v}$$ یک بردار به فرم $${\left[\begin{array}{ccc}x& y& \mathrm{۰}\end{array}\right]}^T$$ در صفحه $$XY$$

نتیجه خواهد داد.

علاوه بر این، هر بردار در صفحه $$XY$$

در حقیقت ترکیبی خطی از بردارهای $$\overrightarrow{u}$$ و $$\overrightarrow{v}$$

است. زیرا:

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ \mathrm{۰}\end{array}\right]=(–\mathrm{۲}x+\mathrm{۳}y)\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right]+(x–y)\left[\begin{array}{c}\mathrm{۳}\\ \mathrm{۲}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right]$$

بنابراین، $$span\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$$

دقیقاً صفحه $$XY$$ است. احتمالاً پی برده‌اید که یک بردار تکی وجود ندارد که بتواند صفحه $$XY$$

را اسپن کند.

اگر بخواهیم می‌توانیم مجموعه بزرگ‌تری را انتخاب کنیم. برای مثال، مجموعه بزرگ‌تر بردارهای $$\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\}$$

را در نظر بگیرید که در آن، $$\overrightarrow{w}={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۴}& \mathrm{۵}& \mathrm{۰}\end{array}\right]}^T$$. از آنجا که دو بردار قبلاً کل صفحه $$XY$$ را اسپن کردند، دوباره دقیقاً صفحه $$XY$$ اسپن شده و چیزی افزوده نمی‌شود. البته اگر یک بردار جدید مانند $$\overrightarrow{w}={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۱}\end{array}\right]}^T$$ را اضافه کنیم، آنگاه یک فضای متفاوت را اسپن می‌کند. در این حالت، اسپن $$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$$

چگونه است؟

تمایز بین مجموعه‌های $$\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$$

و $$\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\}$$

با استفاده از مفهوم استقلال خطی قابل درک است.

بردارهای $$\overrightarrow{u}$$

، $$\overrightarrow{v}$$ و $$\overrightarrow{w}$$ را که درباره آن‌ها بحث کردیم، در نظر بگیرید. در مثال بعدی، نشان می‌دهیم که چگونه $$\overrightarrow{w}$$ در اسپن $$\overrightarrow{u}$$ و $$\overrightarrow{v}$$

قرار دارد.

مثال ۲ (بردار در یک اسپن): بردارهای $$\overrightarrow{u}={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۱}& \mathrm{۱}& \mathrm{۰}\end{array}\right]}^T$$

و $$\overrightarrow{v}={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۳}& \mathrm{۲}& \mathrm{۰}\end{array}\right]}^T$$ را در فضای $$R^{\mathrm{۳}}$$ در نظر بگیرید. نشان دهید $$\overrightarrow{w}={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۴}& \mathrm{۵}& \mathrm{۰}\end{array}\right]}^T$$ در $$span\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$$

قرار دارد.

حل: برداری که در $$span\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$$

قرار دارد، باید یک ترکیب خطی از این بردارها باشد. یعنی اگر $$\overrightarrow{w}\in span\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$$، باید بتوانیم اسکالرهای $$a$$ و $$b$$

را به گونه‌ای بیابیم که تساوی زیر برقرار باشد:

$$\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$$

بنابراین، رابطه زیر را داریم:

$$\left[\begin{array}{c}\mathrm{۴}\\ \mathrm{۵}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c}\mathrm{۳}\\ \mathrm{۲}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right]$$

رابطه بالا معادل با دستگاه معادلات زیر است:

$$\begin{array}{ccc}a+\mathrm{۳}b& =& \mathrm{۴}\\ a+\mathrm{۲}b& =& \mathrm{۵}\end{array}$$

این دستگاه را به صورت معمول و با تشکیل ماتریس افزوده و کاهش سطری برای به دست آوردن فرم پلکانی کاهش یافته حل می‌کنیم:

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۱}& \mathrm{۳}& \mathrm{۴}\\ \mathrm{۱}& \mathrm{۲}& \mathrm{۵}\end{array}\right]\to \cdots \to \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۱}& \mathrm{۰}& \mathrm{۷}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۱}& –\mathrm{۱}\end{array}\right]$$

جواب $$a=\mathrm{۷}$$

و $$b=–\mathrm{۱}$$

است. این یعنی:

$$\overrightarrow{w}=\mathrm{۷}\overrightarrow{u}–\overrightarrow{v}$$

بنابراین، می‌توان گفت $$\overrightarrow{w}$$

در $$span\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$$

قرار دارد.

زیر فضا و قضایای آن

ابتدا تعریف زیرمجموعه را بیان می‌کنیم.

تعریف ۲ (زیرمجموعه): فرض کنید $$U$$

و $$W$$ مجموعه‌هایی از بردارها در فضای $$R^n$$ باشند. اگر همه بردارهای $$U$$ در $$W$$ نیز باشند، می‌گوییم $$U$$ یک زیرمجموعه از $$W$$

است و آن را به صورت زیر نشان می‌دهیم:

$$U\subseteq W$$

در ادامه، مفهوم زیر فضا در $$R^n$$

را بیان می‌کنیم. قبل از تعریف دقیق این مفهوم، ابتدا آزمون زیر فضا را معرفی می‌کنیم.

قضیه ۱ (آزمون زیرفضا): زیرمجموعه $$V$$

از $$R^n$$ یک زیر فضا از $$R^n$$

است، اگر:

• بردار صفر $$R^n$$

، یعنی $${\overrightarrow{\mathrm{۰}}}_n$$، در $$V$$

• قرار داشته باشد؛
• $$V$$

نسبت به جمع بسته باشد، یعنی برای هر $$\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\in V$$، داشته باشیم: $$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}\in V$$

• .
• $$V$$

نسبت به ضرب اسکالر بسته باشد، یعنی برای $$\overrightarrow{u}\in V$$ و $$k\in R$$، داشته باشیم: $$k\overrightarrow{u}\in V$$

• .

این آزمون این توانایی را به ما می‌دهد که یک مجموعه زیرفضای $$R^n$$

را تعیین کنیم. لازم به ذکر است که $$V=\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$ یک زیر فضا از $$R^n$$ است (زیرفضای صفر)، همان‌طور که خود $$R^n$$

نیز یک زیر فضا از آن است.

یک زیر فضا که زیرفضای صفر $$R^n$$

نباشد، «زیرفضای سره» (Proper Subspace) نامیده می‌شود.

به زبان ساده می‌توان گفت که یک زیر فضا مجموعه‌ای از بردارها با این ویژگی است که ترکیب‌های خطی آن‌ها در مجموعه باقی می‌ماند. با تعبیر هندسی، در $$R^{\mathrm{۳}}$$

یک زیر فضا را می‌توان با هر مبدئی به عنوان یک نقطه تکی، خط و صفحه نشان داد که شامل مبدأ یا کل فضای $$R^{\mathrm{۳}}$$ است. مثال زیر خطی در فضای $$R^{\mathrm{۳}}$$

است.

مثال ۳ (زیرفضای $$R^{\mathrm{۳}}$$

): در $$R^{\mathrm{۳}}$$، خط $$L$$ گذرنده از مبدأ و موازی بردار $$\overrightarrow{d}=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{۵}\\ \mathrm{۱}\\ -\mathrm{۴}\end{array}\right]$$ دارای معادله بردای $$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=t\left[\begin{array}{c}-\mathrm{۵}\\ \mathrm{۱}\\ –\mathrm{۴}\end{array}\right],t\in R$$

است، بنابراین:

$$L=\{t\overrightarrow{d}|t\in R\}.$$

در نتیجه، $$L$$

یک زیر فضا از $$R^{\mathrm{۳}}$$

است. این موضوع را نشان دهید.

حل: با استفاده از آزمون زیر فضا بررسی می‌کنیم که $$L$$

یک زیر فضا از $$R^{\mathrm{۳}}$$

است:

• ابتدا، می‌دانیم $${\overrightarrow{\mathrm{۰}}}_{\mathrm{۳}}\in L$$

، زیرا $$\mathrm{۰}\overrightarrow{d}={\overrightarrow{\mathrm{۰}}}_{\mathrm{۳}}$$

• .
• فرض کنید $$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in L$$

. در نتیجه، طبق تعریف، برای $$s,t\in R$$، داریم: $$\overrightarrow{u}=s\overrightarrow{d}$$ و $$\overrightarrow{v}=t\overrightarrow{d}$$

• . بنابراین:

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{d}+t\overrightarrow{d}=(s+t)\overrightarrow{d}.$$

از آنجا که $$s+t\in R$$

، آنگاه $$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in L$$؛ یعنی $$L$$

تحت جمع بسته است.

• فرض کنید $$\overrightarrow{u}\in L$$

و $$k\in R$$ ($$j$$ یک اسکالر است). بنابراین، برای $$t\in R$$، داریم: $$\overrightarrow{u}=t\overrightarrow{d}$$

• . در نتیجه:‌

$$k\overrightarrow{u}=k\left(t\overrightarrow{d}\right)=\left(kt\right)\overrightarrow{d}.$$

از آنجا که $$kt\in R$$

، داریم: $$k\overrightarrow{u}\in L$$. این یعنی $$L$$

نسبت به ضرب اسکالر بسته است.

از آنجا که $$L$$

در همه شرایط آزمون زیر فضا صدق می‌کند، می‌توان نتیجه گرفت که $$L$$

یک زیر فضا است.

لازم به ذکر است که نکته خاصی درباره $$\overrightarrow{d}$$

این مثال وجود ندارد. اثبات مشابهی برای هر بردار غیرصفر $$\overrightarrow{d}\in R^{\mathrm{۳}}$$ وجود دارد، بنابراین، هر خط گذرنده از مبدأ یک زیرفضا در $$R^{\mathrm{۳}}$$

است.

مثال ۴ (زیرفضاهای ناسره یا ناوردا): فرض کنید $$V$$

یک فضای برداری دلخواه باشد. در نتیجه، $$V$$ یک زیرفضای خودش است. به طور مشابه، $$\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$

شامل فقط بردار صفر و همچنین یک زیرفضا است.

حل:‌ با استفاده از آزمون زیرفضا، می‌توانیم نشان دهیم $$V$$

و $$\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$ زیرفضاهای $$V$$

هستند.

از آنجا که $$V$$

در اصول فضای برداری صدق می‌کند، در سه گام آزمون زیرفضا نیز صدق می‌کند. بنابراین، $$V$$

یک زیرفضا است.

مجموعه $$\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$

را در نظر بگیرید.

• بردار $$a\overrightarrow{\mathrm{۰}}$$

به وضوح در $$\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$

• قرار دارد، بنابراین، شرط اول برقرار است.
• فرض کنید $$a{\overrightarrow{w}}_{\mathrm{۱}}$$

و $$a{\overrightarrow{w}}_{\mathrm{۲}}$$ در $$\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$ قرار داشته باشند. در نتیجه، $${\overrightarrow{w}}_{\mathrm{۱}}=\overrightarrow{\mathrm{۰}}$$ و $${\overrightarrow{w}}_{\mathrm{۲}}=\overrightarrow{\mathrm{۰}}$$

• و بنابراین:

$${\overrightarrow{w}}_{\mathrm{۱}}+{\overrightarrow{w}}_{\mathrm{۲}}=\overrightarrow{\mathrm{۰}}+\overrightarrow{\mathrm{۰}}=\overrightarrow{\mathrm{۰}}$$

که نتیجه می‌دهد مجموع بردارها نیز در $$\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$

قرار دارد و شرط دوم نیز برقرار است.

• فرض کنید $$a{\overrightarrow{w}}_{\mathrm{۱}}$$

در $$\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$

• قرار داشته باشد. آنگاه، داریم:

$$a{\overrightarrow{w}}_{\mathrm{۱}}=a\overrightarrow{\mathrm{۰}}=\overrightarrow{\mathrm{۰}}$$

در نتیجه، ضرب در $$\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$

قرار دارد و شرط سوم نیز برقرار است. در نهایت، می‌توان گفت که $$\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$ یک زیرفضا از $$V$$

است.

دو زیرفضای بالا «زیرفضاهای ناوردا» (Improper Subspaces) نامیده می‌شوند. هر زیرفضایی از فضای برداری $$V$$

که برابر با $$V$$ یا $$\left\{\overrightarrow{\mathrm{۰}}\right\}$$

نباشد، یک زیرفضای سره نامیده می‌شود.

مثال ۵ (زیرفضای چندجمله‌ای‌ها): فرض کنید $$P_{\mathrm{۲}}$$

یک فضای برداری از چندجمله‌ای‌های درجه دوم یا کمتر باشد. همچنین، فرض کنید $$W\subseteq P_{\mathrm{۲}}$$ همه چندجمله‌ای‌های درجه دوم یا کمتر است که $$\mathrm{۱}$$ یکی از ریشه‌های آن‌ها است. نشان دهید $$W$$ یک زیرفضای $$P_{\mathrm{۲}}$$

است.

حل: ابتدا، $$W$$

را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$W=\left\{p\right(x)=a{x}^{\mathrm{۲}}+bx+c,a,b,c,\in R|p(\mathrm{۱})=\mathrm{۰}\}$$

باید نشان دهیم $$W$$

در سه شرط بالا صدق می‌کند.

• چندجمله‌ای صفر $$P_{\mathrm{۲}}$$

به صورت $$\mathrm{۰}\left(x\right)=\mathrm{۰}{x}^{\mathrm{۲}}+\mathrm{۰}x+\mathrm{۰}=\mathrm{۰}$$ است. واضح است که $$\mathrm{۰}\left(\mathrm{۱}\right)=\mathrm{۰}$$. بنابراین، $$\mathrm{۰}\left(x\right)$$ در $$W$$

• وجود دارد.
• $$p\left(x\right)$$

و $$q\left(x\right)$$ را به عنوان چندجمله‌ای‌هایی در $$W$$ در نظر بگیرید. در نتیجه، $$p\left(\mathrm{۱}\right)=\mathrm{۰}$$ و $$q\left(\mathrm{۱}\right)=\mathrm{۰}$$ را خواهیم داشت. اکنون $$p\left(x\right)+q\left(x\right)$$ را بررسی می‌کنیم. فرض کنید $$r\left(x\right)$$

• این مجموع را نشان می‌دهد.

$$\begin{array}{cc}r\left(\mathrm{۱}\right)& =p\left(\mathrm{۱}\right)+q\left(\mathrm{۱}\right)\\ & =\mathrm{۰}+\mathrm{۰}\\ & =\mathrm{۰}\end{array}$$

بنابراین، مجموع نیز در $$W$$

است و شرط دوم برقرار است.

• فرض کنید $$p\left(x\right)$$

یک چندجمله‌ای در $$W$$ بوده و $$a$$ یک اسکالر باشد. بنابراین، $$p\left(\mathrm{۱}\right)=\mathrm{۰}$$ خواهد بود. ضرب $$ap\left(x\right)$$

• را در نظر بگیرید.

$$\begin{array}{cc}ap\left(\mathrm{۱}\right)& =a\left(\mathrm{۰}\right)\\ & =\mathrm{۰}\end{array}$$

در نتیجه، ضرب اسکالر در $$W$$

بوده و شرط سوم نیز برقرار است.

در نهایت می‌توان گفت که $$W$$

زیربازه $$P_{\mathrm{۲}}$$

است.

اکنون می‌توانیم تعریف دقیق زیرفضا را بیان کنیم.

تعریف ۳ (زیرفضا): فرض کنید $$V$$

مجموعه‌ای از بردارهای غیرتهی در $$R^n$$ باشد. همچنین، فرض کنید $$a$$ و $$b$$ دو عدد اسکالر بوده و $$\overrightarrow{u}$$ و $$\overrightarrow{v}$$ بردارهایی در $$V$$ باشند. آنگاه $$V$$ یک زیر فضا نامیده می‌شود اگر ترکیب خطی $$a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$$ نیز در $$V$$

باشد.

به بیان عمومی‌تر، این بدین معنی است که یک زیر فضا شامل اسپن هر مجموعه محدودی از بردارهای زیر فضا است. در $$R^n$$

، یک زیر فضا دقیقاً اسپن تعداد محدودی از بردارهای آن است.

قضیه ۲ (زیرفضاها اسپن هستند): فرض کنید $$V$$

مجموعه‌ای از بردارهای ناتهی در $$R^n$$ باشد. آنگاه $$V$$ یک زیر فضا از $$R^n$$ است اگر و تنها اگر بردارهای $$\{{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۱}},\cdots ,{\overrightarrow{u}}_k\}$$ در $$V$$

به گونه‌ای وجود داشته باشند که

$$V=span\{{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۱}},\cdots ,{\overrightarrow{u}}_k\}$$

همچنین، فرض کنید $$W$$

یک زیرفضای دیگر از $$R^n$$ باشد و $$\{{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۱}},\cdots ,{\overrightarrow{u}}_k\}\in W$$. آنگاه می‌توان نتیجه گرفت که $$V$$ یک زیرمجموعه از $$W$$

است.

از آنجا که $$W$$

دلخواه است، گزاره $$V\subseteq W$$ بدین معنی است که هر زیرفضای دیگری از $$R^n$$ که شامل این بردارها باشد، شامل $$V$$

نیز خواهد بود.

قضیه ۳ (اسپن یک زیرفضا است): فرض کنید $$V$$

یک فضای برداری با $$W\subseteq V$$ باشد. اگر $$W=span\{{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{۱}},\cdots ,{\overrightarrow{v}}_n\}$$، آنگاه $$W$$ یک زیرفضا از $$V$$

است.

وقتی مجموعه‌های اسپن کننده را تعیین می‌کنیم، قضیه زیر مفید خواهد بود.

قضیه ۴ (زیرفضاها فضای برداری هستند): فرض کنید $$W$$

یک مجموعه بردار در فضای برداری $$V$$ باشد. آنگاه $$W$$ یک زیرفضا است اگر و تنها اگر با استفاده از عملیات مشابهی که روی $$V$$

تعریف شده است، در اصول فضای برداری صدق کند.

پایه فضای برداری

این بخش را با یک تعریف آغاز می‌کنیم.

تعریف ۴ (پایه یک زیرفضا): فرض کنید $$V$$

زیرمجموعه‌ای از $$R^n$$ باشد. آنگاه $$\{{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۱}},\cdots ,{\overrightarrow{u}}_k\}$$ یک«پایه» (Basis) برای $$V$$

نامیده می‌شود اگر دو شرط زیر برقرار باشند:

1. $$span\{{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۱}},\cdots ,{\overrightarrow{u}}_k\}=V$$

• $$\{{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۱}},\cdots ,{\overrightarrow{u}}_k\}$$

2. مستقل خطی باشند

تعریف ۵ (پایه استاندارد $$R^n$$

):‌ فرض کنید $${\overrightarrow{e}}_i$$ برداری در $$R^n$$ باشد که یک $$\mathrm{۱}$$ در $$i$$اُمین درایه دارد و سایر درایه‌ها صفر هستند ($$i$$اُمین ستون ماتریس واحد). آنگاه مجموعه $$\{{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{۱}},{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{۲}},\cdots ,{\overrightarrow{e}}_n\}$$ یک پایه برای $$R^n$$ است و پایه استاندارد $$R^n$$

نامیده می‌شود.

قضیه (پایه‌های $$R^n$$

اندازه یکسانی دارند): فرض کنید $$V$$ یک زیرفضا از $$R^n$$ با دو پایه $$B_{\mathrm{۱}}$$ و $$B_{\mathrm{۲}}$$ باشد. فرض کنید $$B_{\mathrm{۱}}$$ شامل $$s$$ بردار و $$B_{\mathrm{۲}}$$ شامل $$r$$ بردار باشد. آنگاه $$s=r$$

.

تعریف ۶ (بعد یک زیرفضا): فرض کنید $$V$$

یک زیرفضای $$R^n$$ باشد. «بُعد» (Dimension) $$V$$ را به صورت $$dim\left(V\right)$$

می‌نویسیم و به عنوان تعداد بردارهای یک پایه تعریف می‌کنیم.

بنابراین، می‌توان گفت بعد $$R^n$$

برابر با $$n$$

است.

مثال ۶ (پایه زیرفضا): بردار زیر را در نظر بگیرید:

$$V=\{\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]\in R^{\mathrm{۴}}:a–b=d–c\}.$$

نشان دهید $$V$$

یک زیرفضای $$R^{\mathrm{۴}}$$ است. همچنین، یک پایه از $$V$$ را بیابید. اندازه $$\dim \left(V\right)$$

را به دست آورید.

حل: شرط $$a-b=d-c$$

معادل $$a=b-c+d$$

است. بنابراین، می‌توان نوشت:

$$V=\{\left[\begin{array}{c}b–c+d\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]:b,c,d\in R\}=\{b\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}–\mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right]:b,c,d\in R\}$$

این نشان می‌دهد که $$V$$

یک زیرفضا از $$R^{\mathrm{۴}}$$ است، زیرا $$V=span\{{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۱}},{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۲}},{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۳}}\}$$

که در آن،

$${\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۱}}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right],{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۲}}=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right],{\overrightarrow{u}}_{\mathrm{۳}}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right]$$

همچنین، مجموعه

$$\{\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}–\mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right]\}$$

مستقل خطی است، همان‌طور که می‌توان با استفاده از فرم پلکانی سطری کاهش یافته نوشت:

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۱}& –\mathrm{۱}& \mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۱}& \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۱}\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{۱}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۱}& \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}\end{array}\right]$$

از آنجا که هر ستون ماتریس پلکانی سطری کاهش یافته یک $$\mathrm{۱}$$

دارد، ستون‌ها مستقل خطی هستند.

بنابراین،‌ $$\{\to u_{\mathrm{۱}},\to u_{\mathrm{۲}},\to u_{\mathrm{۳}}\}$$

مستقل خطی است و $$V$$ را اسپن می‌کند، بنابراین یک پایه $$V$$ است. در نتیجه، $$V$$

سه بعد دارد.

قضیه ۵ (وجود پایه): فرض کنید $$V$$

یک زیرفضای $$R^n$$ باشد. آنگاه یک پایه $$V$$ با $$\dim \left(V\right)\le n$$

وجود دارد.

مثال ۷ (زیرمجموعه یک اسپن): فرض کنید $$W$$

زیرفضای

$$span\{\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۲}\\ –\mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۳}\\ –\mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\mathrm{۸}\\ \mathrm{۱}\mathrm{۹}\\ –\mathrm{۸}\\ \mathrm{۸}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}–\mathrm{۶}\\ –\mathrm{۱}\mathrm{۵}\\ \mathrm{۶}\\ –\mathrm{۶}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۳}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۵}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right]\}$$

باشد. یک پایه برای $$W$$

پیدا کنید که شامل یک زیرمجموعه از بردارهای داده شده باشد.

حل: می‌توانیم از فرم پلکانی سطری کاهش یافته استفاده کنیم. ماتریسی را که شمال بردارهای داده شده است، تشکیل می‌دهیم:

$$\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{۱}& \mathrm{۱}& \mathrm{۸}& -\mathrm{۶}& \mathrm{۱}& \mathrm{۱}\\ \mathrm{۲}& \mathrm{۳}& \mathrm{۱۹}& -\mathrm{۱۵}& \mathrm{۳}& \mathrm{۵}\\ -\mathrm{۱}& -\mathrm{۱}& -\mathrm{۸}& \mathrm{۶}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}& \mathrm{۱}& \mathrm{۸}& -\mathrm{۶}& \mathrm{۱}& \mathrm{۱}\end{array}\right]$$

فرم سطری پلکانی کاهش یافته این ماتریس به صورت زیر است:

$$\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{۱}& \mathrm{۰}& \mathrm{۵}& -\mathrm{۳}& \mathrm{۰}& -\mathrm{۲}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۱}& \mathrm{۳}& -\mathrm{۳}& \mathrm{۰}& \mathrm{۲}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۱}& \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}\end{array}\right]$$

در نتیجه، پایه زیر را برای $$W$$

خواهیم داشت:

$$\{\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۲}\\ -\mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۳}\\ -\mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۳}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right]\}$$

از آنجا که ستون‌های اول، دوم و پنجم یک پایه برای فضای ستونی هستند، روند و نتیجه مشابهی برای ماتریسی با بردارهایی به عنوان ستون وجود دارد.

قضیه ۶ (گسترش یک پایه): فرض کنید $$W$$

هر زیرفضای غیرصفری از $$R^n$$ باشد و $$W\subseteq V$$ که $$V$$ نیز زیرفضایی از $$R^n$$ است. آنگاه هر پایه از $$W$$ را می‌توان به یک پایه برای $$V$$

گسترش داد.

مثال ۸ (گسترش یک پایه): فرض کنید $$W$$

اسپن $$\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right]$$ در $$R^{\mathrm{۴}}$$ باشد. همچنین فرض کنید $$V$$

از اسپن بردارهای زیر تشکیل شده باشد:

$$\left[\begin{array}{c}\mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\mathrm{۷}\\ -\mathrm{۶}\\ \mathrm{۱}\\ –\mathrm{۶}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}–\mathrm{۵}\\ \mathrm{۷}\\ \mathrm{۲}\\ \mathrm{۷}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}\end{array}\right]$$

یک پایه برای $$V$$

بیابید که پایه را برای $$W$$

گسترش می‌دهد.

حل: توجه داشته باشید که بردارهای فوق مستقل خطی نیستند، اما اسپن آن‌ها که با $$V$$

نشان داده می‌شود یک زیرفضا است که شامل زیرفضای $$W$$

است.

با استفاده از فرآیند ذکر شده در مثال قبلی، ماتریس زیر را تشکیل می‌دهیم:

$$\left[\begin{array}{ccccc}\mathrm{۱}& \mathrm{۰}& \mathrm{۷}& -\mathrm{۵}& \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۱}& -\mathrm{۶}& \mathrm{۷}& \mathrm{۰}\\ \mathrm{۱}& \mathrm{۱}& \mathrm{۱}& \mathrm{۲}& \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۱}& -\mathrm{۶}& \mathrm{۷}& \mathrm{۱}\end{array}\right]$$

در ادامه، فرم سطری پلکانی کاهش یافته این ماتریس را می‌نویسیم:

$$\left[\begin{array}{ccccc}\mathrm{۱}& \mathrm{۰}& \mathrm{۷}& -\mathrm{۵}& \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۱}& -\mathrm{۶}& \mathrm{۷}& \mathrm{۰}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۱}\\ \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}& \mathrm{۰}\end{array}\right]$$

از ماتریس بالا مشخص است که بعد $$V$$

برابر با ۳ بوده و یک پایه دارد که پایه $$W$$

را گسترش می‌دهد.