دنباله فیبوناچی چیست ؟

اعداد فیبوناچی برای ایجاد شاخص‌های فنی با استفاده از توالی ریاضی ساخته و توسط ریاضیدان ایتالیایی، «لئونارد پیزانو بوگولو» (Leonardo Pisano Bogollo) در ابتدای قرن سیزدهم معرفی شد. البته نام خانوادگی او در سال‌های بعد به «فیبوناچی» (Fibonacci) تغییر یافت. در واقع فیبوناچی لقب وی به معنی «پسر بوناچی» بوده است. فیبوناچی علاوه بر شهرتی که به خاطر دنباله فیبوناچی دارد، به علت گسترش اعداد هندی – عربی (همان اعداد معمول در ریاضی امروزی ۹ ,۸ ,۷ ,۶ ,۵ ,۴ ,۳ ,۲ ,۱ ) در اروپا به جای اعداد رومی ( … I, II, III, IV, V) نیز مشهور شده است.

روز ۲۳ نوامبر (۲ آذر) به نام روز فیبوناچی نامگذاری شده است. چرا که این روز در تقویم میلادی به صورت ۱۱/۲۳ نشان داده می‌شود که ابتدای دنباله فیبوناچی است.

نکته: باید اشاره کنیم که فیبوناچی اولین شخصی نبود که این دنباله را کشف کرده است و این دنباله صدها سال پیش از وی در هند شناخته شده و به کار می‌رفت.

توالی اعداد در سری یا دنباله فیبوناچی، با صفر و یک شروع می‌شود، با جمع کردن دو عدد قبلی در هر گام، یک عدد دیگر از این دنباله ایجاد خواهد شد. به عنوان مثال، قسمت اولیه دنباله ۰، ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱، ۳۴، ۵۵، ۸۹، ۱۴۴، ۲۳۳، ۳۷۷ و غیره است. همانطور که می‌بینید از سمت راست به چپ، جمع هر دو عدد متوالی، عدد بعدی را ساخته است. این توالی را می‌توان به نسبت‌هایی تقسیم کرد که برخی معتقدند سرنخی را درباره مکان حرکت یک بازار مالی مشخص ارائه می‌دهد. در مورد این موضوع در ادامه متن صحبت خواهیم کرد.

نکته: جالب است که بدانید، دنباله فیبوناچی ابتدا برای مشخص کردن جمعیت خرگوش‌ها به کار رفت. لئونارد پیزانو، قصد داشت بداند در پایان یک سال با داشتن یک زوج خرگوش، چند خرگوش زاد و ولد کرده و تعدادشان به چه عددی می‌رسد.

اعداد فیبوناچی

اگر بخواهیم این دنباله را به بیان ریاضی نمایش دهیم، از رابطه‌های زیر کمک خواهیم گرفت. در اینجا $F_{i}$

عدد فیبوناچی در گام یا مرحله $i$

ام است.

$F_{۰} = ۰$

$F_{۱} = ۱$

$F_{i} = F_{i - ۱} + F_{i - ۲}$

به این ترتیب اگر مقدار $i$

را از صفر آغاز کنیم، دنباله یا سری فیبوناچی تولید خواهد شد.

نکته: در دنباله‌ای که شخص فیبوناچی ابداع کرد، $i$

از مقدار ۱ آغاز می‌شود و داریم $F_{۱} = F_{۲} = ۱$

براساس رابطه‌های گفته شده می‌توانیم ۲۱ عدد ابتدایی دنباله فیبوناچی را به صورت زیر در نظر بگیریم.

F_۰	۰	F_۱۱	۸۹
F_۱	۱	F_۱۲	۱۴۴
F_۲	۱	F_۱۳	۲۳۳
F_۳	۲	F_۱۴	۳۷۷
F_۴	۳	F_۱۵	۶۱۰
F_۵	۵	F_۱۶	۹۸۷
F_۶	۸	F_۱۷	۱۵۹۷
F_۷	۱۳	F_۱۸	۲۵۸۴
F_۸	۲۱	F_۱۹	۴۱۸۱
F_۹	۳۴	F_۲۰	۶۷۶۵
F_۱۰

همین دنباله را می‌توان برای اعداد منفی نیز ساخت. در این صورت رابطه بین مقادیر این دنباله به صورت زیر خواهد بود.

$F_{- i} = (- ۱)^{i + ۱} F_{i}$

به خوبی تناوب یا تغییر مقادیر مثبت به منفی در مجموعه مقادیر منفی دنباله فیبوناچی دیده می‌شود. ولی برای اعداد مثبت در دنباله فیبوناچی، تناوب وجود ندارد.

به این ترتیب مشخص شد که اعداد فیبوناچی چیست و الگوی فیبوناچی به چه شکلی است. در ادامه در مورد نسبت طلایی حاصل از همگرایی نسبت اعداد فیبوناچی صحبت خواهیم کرد و در انتها نیز یکی از کاربردهای این نسبت طلایی و اعداد الگوی فیبوناچی را در بازارهای مالی و بخصوص بورس مورد بررسی قرار می‌دهیم.

نسبت طلایی و الگوی فیبوناچی

دنباله فیبوناچی به دلیل آن که یک نسبت خاص بین اعداد متوالی آن وجود دارد، اهمیت زیادی پیدا کرده است. این نسبت که به نام نسبت اعداد طلایی نیز شناخته می‌شود برابر است با ۱٫۶۱۸٫ واضح است که این نسبت از تقسیم عدد بزرگتر بر عدد کوچکتر در دنباله فیبوناچی بدست می‌آید.

برای مثال دو عدد متوالی (به جز صفر) را در نظر بگیرید. در اینجا ۵ و ۸ را مثال می‌زنیم. نسبت یا تقسیم ۸ بر ۵ برابر است با تقریبا ۱٫۶۱۸ با سه رقم اعشار. البته این عدد یک عدد گویا نیست و باید آن را از جمله مقادیر گنگ یا اصم در نظر گرفت. نکته جالب این است که این عدد اصم یا نسبت طلایی، براساس اعداد صحیح یا طبیعی ساخته شده است. به نتیجه تقسیم و بدست آمدن اعداد طلایی بعدی در ادامه توجه کنید.

همانطور که دیده می‌شود، هر چه اعداد فیبوناچی بزرگتر شوند، این نسبت به ۱٫۶۱۸ نزدیکتر خواهد شد. این امر نشان می‌دهد که اگر نسبت طلایی را با $φ$ ‌ نشان دهیم، حد نسبت دو عدد متوالی از دنباله فیبوناچی به نسبت طلایی میل خواهد کرد. این موضوع را به صورت رابطه حدی زیر نشان می‌دهیم.

$lim i \to \infty \frac{F_{i + ۱}}{F_{i}} = φ$

دنباله فیبوناچی چیست ؟ — اعداد فیبوناچی، الگوی فیبوناچی